Our website does not support Internet Explorer.

To get the best experience on our website and of our content, please use a more modern browser like Edge, Chrome, Safari or similar.

Beroemd en gehaat: zo ontstond het getal 0

In 628 n.Chr. bedenkt de Indiase wiskundige Brahmagupta het cijfer 0, waarmee hij ‘niets’ tot een getal verheft. Dat nieuwe inzicht is kennelijk zo verwarrend dat mensen overal ter wereld de nul schuwen. De Italianen gaan zelfs zover dat ze het getal bij wet verbieden.

Shutterstock

Toen de Indiase astronoom en wiskundige Brahmagupta in 628 n.Chr. de laatste hand aan Brahmasphuta-siddhanta legde, een wetenschappelijk werk in de Indiase taal Sanskriet, kon hij niet bevroeden dat hij daarom zowel
beroemd als gehaat zou worden.

De titel betekent ‘de opening van het heelal’. En ja, de hele wereld zou met het boek kennismaken.

De 30-jarige wetenschapper had er jaren aan gewerkt met steun van koning Vyaghramukha, die heerste over de streek in het Noord-Indiase Rajasthan waar Brahmagupta’s woonplaats lag.

De hofwetenschapper moest onder meer studie maken van de hemel en van de natuurwetten.

Om kennis te vergaren reisde hij geregeld van zijn woonplaats Bhillamala naar de koninklijke sterrenwacht in Ujjain, zo’n 500 kilometer naar het zuiden.

Een belastinginner kon geen negatief bedrag opeisen, en een boer kon onmogelijk min drie koeien bezitten.

Zijn bevindingen en theorieën schreef Brahmagupta in de 24 hoofdstukken van zijn Brahmasphuta-siddhanta. Door de versvorm waren de teksten makkelijker te reciteren en te onthouden.

Het werk bevatte hoofdstukken over de meeste takken van wetenschap.

Zo beschreef Brahmagupta het vermogen van de zwaartekracht om dingen op de aarde te houden, 1000 jaar voor Newton.

En toen hij ooit het licht op een pan zag vallen, stelde hij vast dat de zon verder van de aarde stond dan de maan.

Naast astronomie en natuurkunde ging het boek over wiskunde, en met enkele pennenstreken liet de Indiër de wetenschap op zijn grondvesten schudden.

Als eerste hechtte hij een getal aan ‘niets’ en legde hij bovendien uit hoe een getal een negatieve waarde kon hebben.

Brahmagupta laat cijfers verdwijnen

De theorieën waren overrompelend, en Brahmagupta’s vakgenoten konden niet goed uit de voeten met zijn rekenregels.

Zo beschreef Brahmagupta dat je de nul, eigenlijk net als ieder ander getal, kon opnemen in je berekeningen.

‘Als je 0 bij een getal optelt of ervan aftrekt, verandert dat getal niet. Een getal vermenigvuldigd met 0 is 0,’ luidde een van Brahmagupta’s stellingen.

Maar als 1 +/- 0 = 1, hoe kon het dan zijn dat 1 x 0 = 0? Waar bleef die 1 dan? De wiskundigen wisten niet hoe ze het hadden.

Al even onbegrijpelijk in deze nieuwe wiskunde was het gebruik van positieve en negatieve getallen, in de woorden van Brahmagupta ‘vermogen’ en ‘schuld’. Enkele voorbeelden waren:

‘Een schuld min 0 is een schuld’, en ‘een schuld vermenigvuldigd met of gedeeld door een vermogen is een schuld’.

Brahmagupta had de nul verheven tot het middelpunt van een as met positieve en negatieve getallen. Maar geen sterveling begreep hoe berekeningen op een negatief getal konden uitkomen.

Een belastinginner kon geen negatief bedrag opeisen, en een boer kon onmogelijk min drie koeien bezitten. In het India van die tijd was een som als zeven min 13 ofwel fout, ofwel onzinnig.

Brahmagupta’s negatieve getallen waren voor gewone mensen vreemd en werden honderden jaren lang alleen gebruikt door wiskundigen voor het oplossen van vergelijkingen.

De nul was zo’n grensoverschrijdend concept dat het eeuwen duurde voordat het getal doorbrak.

De vroegste voorbeelden van de nul als een zelfstandig getal hebben archeologen aangetroffen op een Indiaas stenen tablet uit 876 n.Chr.: 247 jaar na het uitkomen van Brahmagupta’s boek.

Volgens de inscriptie kreeg de Indiase stad Gwalior, 400 kilometer ten zuiden van Delhi, een tuin die iedere dag 50 bloemenranken kon opbrengen voor een tempel in de buurt.

Op het stenen tablet werd 50 voor het eerst aangegeven met een vijf en een kleine, ronde nul.

Egyptische schrijvers tekenden kunstwerkjes om grote getallen te schrijven.

© Shutterstock

Last van grote getallen

De getallen van één tot tien waren makkelijk te hanteren voor de oude beschavingen, maar duizendtallen waren een flinke kluif.

Al kenden alle oude beschavingen een ontwikkeld getallenstelsel, Chinezen, Egyptenaren en Romeinen hadden moeite met grote getallen.

Als een schrijver een aantal duizend stuks van een artikel moest noteren, moest hij overwerken; het was een hele klus om zo’n cijfer neer te griffelen.

En optellen en aftrekken door getallen onder elkaar te plaatsen was bijna niet te doen, want de lange getallen waren veel te onoverzichtelijk.

In plaats daarvan moesten de schrijvers en handelaren uit de
oudheid hun berekeningen uitvoeren met behulp van een telraam.

Vroegste nullen zijn niet rond

Negatieve getallen kwamen echter niet uit India maar uit China.

In het boek De negen hoofdstukken van de wiskundige kunst, dat van circa 1000 tot 200 v.Chr. werd opgesteld door geleerde Chinezen, gaat hoofdstuk acht over het gebruik van negatieve getallen in vergelijkingen.

Al in de 5e eeuw n.Chr. schreven de Indiase wiskundigen over de rare cijfers van de Chinezen, maar Brahmagupta kon er heel goed mee rekenen.

Ook in het oude Babylon kwam er een primitieve nul voor, lang voordat het boek van Brahmagupta verscheen.

Het Babylonische rijk, dat tussen de rivieren de Eufraat en de Tigris in het huidige Irak lag, was zo’n 1200 jaar vóór de tijd van Brahmagupta ten onder gegaan.

De Babyloniërs schreven op kleitabletten die ze bakten in ovens. Met de inscripties bleef zo ook hun kennis bewaard.

Archeologen hebben tabletten uit circa 700 v.Chr. gevonden met Babylonisch spijkerschrift, waarop de schrijver de nul of ‘niets’ aangaf met twee winkelhaken van zijn puntige griffel.

De Babylonische nul was echter geen zelfstandig getal, maar diende om een plek aan te duiden.

Wanneer een Babylonische koopman bijvoorbeeld 104 in zijn boekhouding wilde schrijven, was de nul aangegeven als een lege plek tussen twee getallen of met twee ‘spijkers’: 1''4.

Het teken voor ‘niets’ werd zelden aan het eind van een getal geschreven. Dus 140 werd geschreven als 14. De lezer van het kleitablet moest de omvang van het getal opmaken uit de context.

De Denen telden op hun tenen

De mens heeft altijd een rekenmachine bij de hand: zijn vingers.
In Noord-Europa telden mensen vroeger ook hun tenen mee.

Met onze tien vingers lag het voor de steentijdmensen al voor de hand om te tellen met het decimale getallenstelsel.

De oudste sporen daarvan stammen uit 7000 v.Chr., uit Centraal-Azië, maar een schriftelijk systeem met zelfstandige symbolen voor ieder cijfer ontstond pas rond 500 v.Chr. in India.

Volgens deskundigen kwam het stelsel in de 5e eeuw v.Chr. met migrerende volken mee vanuit Azië naar Europa.

De nul kwam pas 1000 jaar later in zwang.

In Keltisch Frankrijk, op de Britse eilanden en in Denemarken telden mensen echter ook hun tenen mee en rekenden ze met het twintigtallige stelsel.

De Denen maakten het wel erg bont door bovendien de twee stelsels te mengen.

Deense cijfers zijn afkortingen

  • 50

    Halvtreds is de afkorting van ‘drie min een half keer twintig’. Dus 2,5 x 20 = 50.

  • 60

    Tres is de afkorting van ‘drie keer twintig’, ofwel 3 x 20 = 60.

  • 70

    Halvfjerds is de afkorting van ‘vier min een half keer twintig’, dus 3,5 x 20 = 70.

  • 80

    Firs betekent ‘vier keer twintig’, 4 x 20 = 80.

  • 90

    Halvfems is de afkorting van ‘vijf min een half keer twintig’, ofwel 4,5 x 20 = 90.

Niemand neemt de nul over

Ondanks dit duidelijke nadeel was het Babylonische getallenstelsel beter voor de boekhouding dan de getallenstelsels die de grote beschavingen rondom de Middellandse Zee erop na hielden.

Maar Egyptenaren, Grieken noch Romeinen omarmden de nul, en ze liepen met een grote boog om negatieve getallen heen.

Bij de Grieken hadden getaltheoretici als Pythagoras (580 v.Chr. – 500 v.Chr.) en Euclides (ca. 325 v.Chr. – 265 v.Chr.) zich geconcentreerd op geometrische berekeningen van driehoeken en vierkanten met behulp van formules.

De gewone rekenkunde werd in het oude Griekenland overgelaten aan boeren en kooplieden, die op hun vingers telden, wat niet hielp bij de ontwikkeling van een praktisch getallenstelsel.

De Romeinen en Egyptenaren wilden ook niet aan het getal nul. Boekhouden – zoals het bijhouden van de administratie van een voorraadschuur – werd gedaan door op de vingers te tellen, steentjes te verplaatsen of met een telraam.

Om een wat groter getal aan te geven moesten de Romeinen en Egyptenaren allerlei symbolem naast elkaar schrijven en dan optellen.

In het Romeinse Rijk stond de L voor 50 en de V voor 5. Als deze symbolen naast elkaar stonden als LV, dan betekenden ze samen 55. Maar bij VL moest je de V van de L aftrekken en kwam je uit op 45.

Het nadeel van deze systemen was dat een getal heel lang kon worden. Pas honderden jaren later werd dit probleem opgelost door de nul van Brahmagupta.

Maar er was niemand die belangstelling toonde voor deze vinding.

Arabieren snappen het

In 773 n.Chr. ontving de kalief in Bagdad een Indiase delegatie uit de stad Ujjain.

Ze hadden Brahmagupta’s teksten bij zich. Vooral de zoon van de kalief, Haroen ar-Rashid, was vol van de nieuwe wetenschappelijke ideeën, en toen hij in 786 n.Chr. aan de macht kwam verzamelde hij alle kennis die binnenstroomde in Bagdad in een academie, het Huis der Wijsheid geheten.

Een van de knapste koppen van deze academie was de wiskundige Mohammed ibn Moesa al-Chwarizmi (ca. 780-850).

Op bevel van de kalief vertaalde hij Brahmagupta’s werk in het Arabisch. Het getal nul was hard op weg om wereldberoemd te worden.

De wiskundige begreep meteen hoe vernieuwend het gedachtegoed van Brahmagupta was.

Spaanse kooplieden schuwden ‘heidense cijfers’, zoals de Arabische getallen werden genoemd.

De nul en negatieve getallen konden gebruikt worden om vergelijkingen op te lossen. Het nieuwe teken kreeg de naam ‘sifr’ in het Arabisch, waaruit het woord ‘cijfer’ is voortgekomen.

Dankzij Brahmagupta’s boek leerde Al-Chwarizmi ook de Indiase getallen, die makkelijk te schrijven en onthouden waren.

Ze gingen van een tot negen en hadden een simpel symbool.

Daarmee, en met de nul, wist hij een wiskundige taal te hanteren die uit formules bestond met onbekenden en variabelen om vierkantsvergelijkingen op te lossen.

Zo legde Al-Chwarizmi de grondslag voor een nieuwe tak van de wiskunde: algebra.

Zwendel leidt tot getallenverbod

Via Spanje, dat deels door de Arabieren was veroverd, kwamen de nieuwe cijfers en theorieën naar Europa.

Aanvankelijk bekeken de Spaanse kooplieden deze heidense cijfers of ‘Arabierengetallen’ met argusogen, maar ten langen leste gingen ze toch overstag.

Met de Indiase getallen was het veel makkelijker boekhouden dan met die ellenlange Romeinse cijfers.

Italiaanse kooplieden hielpen de nul verder Europa in. Ze handelden veel met de Arabieren in het Midden-Oosten en in Noord-Afrika, en zagen al gauw in wat er nu zo handig was aan de nul en de ‘Arabierengetallen’.

Ook de wiskundige Leonardo Fibonacci (1170-1250) was blij dat hij van zijn telraam af was bij het uitvoeren van zijn berekeningen.

Tot aan de 15e eeuw hadden veel Europese belastinginners het zwaar met de ellenlange Romeinse cijfers die ze in hun boekhouding moesten noteren.

© Bridgeman

Fibonacci groeide op in Noord-Afrika, waar zijn vader als handelsvertegenwoordiger voor de stad Pisa werkte.

In Afrika maakte de jongen kennis met de nul en de nieuwe getallen, die met de Arabische kooplieden meekwamen uit het oosten.

In zijn wiskundeboek Liber Abbaci uit 1202 schrijft Fibonacci: ‘Daar (in Afrika, red.) werd ik in de kunst van de negen Indiase symbolen ingevoerd (…) een kennis die mij al snel meer vreugde bracht dan wat dan ook.’

Het enthousiasme van de wiskundige werd gedeeld door de vele Italiaanse stadstaten die van de handel bestonden.

Maar, waarschuwden sommigen, met de komst van de nieuwe getallen was het ook makkelijker de boel op te lichten.

Zo kon je de nul veranderen in een negen of een zes, en van een één kon je zo een zeven maken.

De stad Florence verbood daarom in 1299 de nieuwe getallen, maar hief het verbod weer op in 1316, want niemand hield zich eraan. Voor de kooplieden was er geen weg terug.

Europese universiteiten aan de nul

In de renaissance in de 15e eeuw werd oude kennis herontdekt.

Tot vreugde van de wiskundigen doken er Arabische bewerkingen van Brahmagupta’s tekst en Latijnse vertalingen van Al-Chwarizmi aan de westerse universiteiten op.

Algebra en de nul hadden succes, maar negatieve getallen leken onlogisch in onder meer de geometrie. Een kegel kon geen negatief volume hebben.

Pas met het coördinatenstelsel van de Franse wiskundige René Descartes (1596-1650) kwamen ook negatieve getallen in zwang.

Daarmee konden formules in het coördinatenstelsel worden gezet.

Toch bleven de negatieve getallen nog eeuwenlang zo problematisch dat niet iedereen er zomaar aan wilde.

‘Ze verduisteren de doctrines van de vergelijkingen en maken zaken duister die eigenlijk heel helder en eenvoudig zijn,’ mopperde de Britse wiskundige Francis Maseres nog in 1758.

Lees ook:

Wetenschap

Nieuwe studie stelt ouderdom van de 0 vast

2 minuten
Geneeskunde

Wie vond de oorzaak van malaria­?

2 minuten
Wetenschap

Thor Heyerdahl had gelijk!

3 minuten

Log in

Ongeldig e-mailadres
Wachtwoord vereist
Toon Verberg

Al abonnee? Heb je al een abonnement op ons tijdschrift? Klik hier

Nieuwe gebruiker? Krijg nu toegang!

Reset wachtwoord

Geef je mailadres op, dan krijg je een e-mail met aanwijzingen voor het resetten van je wachtwoord.
Ongeldig e-mailadres

Voer je wachtwoord in

We hebben een mail met een wachtwoord gestuurd naar

Nieuw wachtwoord

Enter a password with at least 6 characters.

Wachtwoord vereist
Toon Verberg